Der Klub wurde 1970 als Studentischer Fußballverein gegründet. Sämtliche Spieler waren Schüler des BG/BRG für Slowenen in Klagenfurt. Vor dem Gründungsjahr wurde die Gründungsmannschaft österreichischer Fußballmeister der DSG (Diözesansportgemeinschaft), unter der Federführung des späteren Leichtathletiktrainers Josef Müller aus Maria Elend.

Im Gründungsjahr war des SAK ohne Trainer, die Spieler organisierten sich selbst mithilfe von Verwandten und Bekannten die einen Führerschein besaßen. Administrativ und sportlich waren in der Zeit der Vereinsgründung mehrere Jungfunktionäre beteiligt. Miha Zablatnik (Schriftführer = de facto erster Geschäftsführer der Gründerzeit von 1970 bis 1975 ) hat nach der Gründung die administrativen Aufgaben des Vereines geleitet, Joško Wrolich war der sportliche Architekt der Mannschaft und kaufte selbst die ersten Dressen im Real Madrid Outfit. Valentin Inzko hat den Verein formal bei der Behörde angemeldet und übernahm zu Beginn die Aufgaben des Obmannes. Die notwendigen formalen Unterschriften bei der Behörde leisteten Lado Hajnžič und Toni Hornböck. Spieler wie Josef Fera, Ivan Olip, Janko Woschitz, Nužej Lampichler, Janči Hribar oder Peter Waldhauser sorgten für den ersten sportlichen Aufschwung.

Eine ganz wichtige Rolle kam nach der Gründung Matevž Wieser zu, der als Erzieher im Schulinternat im Tarviserheim die Jugend zum SAK brachte und für den gesamten Spielbetrieb zuständig war. In Zeiten, wo die Stadt Klagenfurt, im besonderen der Sportstadtrat, wenig Zuneigung für den SAK übrig hatten, eine ganz schwierige Aufgabe. Für die Entwicklung des Nachwuchses waren später in den ersten Jahrzehnten Funktionäre wie Andrej Kumer, Albert Smrečnik und Stefan Gregorič entscheidend. Sie brachten die Jugend vom Land (aus dem Jauntal und Rosental) zum SAK und sorgten für den Spielbetrieb. Zu den Pionieren des SAK Nachwuchses zählten auch Hermann Velik, Franc Smid und Blasius Kordesch.

 Vereinsziel des SAK war bei der Gründung 1970 die besten slowenisch sprachigen Fußballer in Kärnten in einem Verein zu sammeln und in die I. Division aufzusteigen.

Heute ist der SAK nach wie vor der Elitesportverein der slowenischen Volksgruppe, hat aber in seinen Reihen auch eine große Zahl einsprachiger Fußballer, die die sprachliche und kulturelle Vielfalt des SAK schätzen. Der SAK hat derzeit 280 aktive Fußballer und 21 Mannschaften, die Zahl ist steigend.

Der SAK beendete die ersten 5 Saisonen viermal als zweiter, 1975/76 gelang der Aufstieg in die 1. Klasse. Die größten Gegner des SAK waren in dieser Zeit des Ortstafelsturms deutschnational gesinnte Schiedsrichter und die Zuschauer, die den Kärntner Slowenen nicht wohlgesonnen waren. Viele Spiele ähnelten damals eher politischen Veranstaltungen für oder gegen die Rechte der slowenischen Volksgruppe als Fußballspielen.

1978/79 gelang der Aufstieg in die Unterliga. Ein schöner Erfolg war auch der der Einzug in das ÖFB-Cup Viertelfinale mit einem Sieg gegen den LASK vor 2000 Zuschauern in der Saison 1986/87. Dies gelang auch 2013/14, wo der SAK knapp an dem SV Ried (0:1) scheiterte.Der SAK spielt seit der Saison 1994/95 mit zwei Unterbrechungen (95/96 I. Division, 2001/02 KL) in der Regionalliga.

Vom Tag der Gründung an zieht sich die Sportplatzfrage als großes Problem durch die Vereinsgeschichte. Der SAK war von 1970 bis 2003 auf Herbergsuche und hatte praktisch nie einen eigenen Sportplatz. Im Gründungsjahr war keine einzige Gemeinde bereit dem SAK die Standortgenehmigung zu erteilen. Diese erhielt der SAK dann vom Bürgermeister der damaligen selbstständigen Gemeinde Radsberg / Radiše Ludwig Ogris. Daher nannte sich der SAK im ersten Monaten auch SAK Radsberg.

Die Sportplatz Odyssee des SAK begann auf einer Wiese am Radsberg. Da nach einem starken Regen die Wiese nicht bespielbar war, bekam der SAK vom KFV keine Spielgenehmigung und musste seine ersten Spiele in Ebental austragen und wechselte schon nach 2 Monaten auf den Koschatplatz nach Klagenfurt.

1976 musste die Mannschaft nach Hörtendorf umziehen, kehrte 1998 wieder auf den Koschatplatz zurück und spielte ein halbes Jahr auch auf dem ehemaligen Polizeisportplatz.

1986 zog der SAK vom Koschatplatz nach Annabichl und blieb dort fast 15 Jahre als Untermieter. Erst 2002 ergab sich die Möglichkeit auf dem Sportplatz des BG/BRG für Slowenen eine eigene Sportanlage zu errichten. Ivan Ramšak war 1996 Obmann des Elternvereines am Slowenischen Gymnasium und Trainer des SAK und konnte teilweise gegen den Willen des damaligen Sportstadtrates Dieter Jandl und der Stadtpolitik den Bau eines Regionalliga tauglichen Fußballplatzes in der Reichenbergerstraße durchsetzen. 

Die Übersiedelung des SAK von Annabichl in die Reichenbergerstraße haben im Jahr 2003 dann Marko Wieser und Silvo Kumer umgesetzt.

Mit Silvo Kumer bekam der SAK 1992 einen neuen Nachwuchsleiter, der für die Jugendausbildung ein neues Konzept erstellte, mithilfe dessen der SAK beim Nachwuchs in die Kärntner Spitze vorgestoßen ist. Die Zahl der Nachwuchsmannschaften erhöhte sich in 20 Jahren von 4 auf 21. Im Jahr 1992 errichtete Silvo Kumer in Wiederndorf/Vidravas das SAK NW-Zentrum Bleiburg, ein Trainingszentrum mit 2 Rasenplätzen. 1994 folgte die Gründung des Nachwuchszentrum St. Primus, das jahrelang von Karl Kulmesch geleitet wurde.

Seit der Saison 1994/95 spielt der SAK in der neu gegründeten Regionalliga-Mitte und stieg als erster Meister der Regionalliga 1995 sogar in die II. Division auf. Das Gastspiel in der zweithöchsten Spielklasse dauerte ein Jahr (Saison 95/96). Der SAK ist danach bis auf ein Jahr durchgehend in der Regionalliga und wurde in den Saisonen 2011/12 und 2012/13 jeweils dritter.

Ein Meilenstein in der SAK Vereinsgeschichte war im Jahr 2004 der Wechsel im Vorstand. Marko Wieser wurde zum GF Präsident gewählt, sein Bruder Franz ist seit 2004 Präsident des SAK, ein Großteil der erfahrenen Funktionäre blieb mit an Bord. Seit dem Jahr 2004 hat für den SAK mit dem neuen Vorstand die Ära einer offensiveren Vereinspolitik begonnen. 

Auf dem Areal beim Slowenischen Gymnasium platzte der SAK bald aus allen Nähten. Die Zahl der Mannschaften stieg, das Anforderungsprofil für die Regionalliga konnte fast nicht mehr erfüllt werden. Im Cupspiel SAK – FC Red Bull Salzburg stürmten 2.500 Fans die kleine SAK Anlage. Es war Zeit zu handeln.

Daher hat der SAK im Jahr 2006 Marko Wieser und Silvo Kumer mit der Aufgabe betraut, für den SAK eine geeignete größere Sportstädte zu bauen oder zu kaufen. Vorerst wollte der SAK um 1,7 Mio. € den bestehenden Platz in der Reichenbergerstraße in ein Stadion umbauen, die Pläne für den Bau einer Ballspielhalle des Sportverbandes waren aber mit den fertigen Plänen des SAK nicht vereinbar, da kein Platz für einen Trainingsplatz übergeblieben wäre. Marko Wieser und Silvo Kumer haben deswegen Verhandlungen mit der Post AG über den Ankauf der Postsportanlage in Hörtendorf aufgenommen. Parallel dazu liefen die Verhandlungen mit dem SV Welzenegg. Diese Anlage wurde schließlich vom SAK am 1. Juni 2013 vom SAK übernommen, die Ablösesumme wurde vom Land Kärnten übernommen, insbesondere aus Mitteln des damaligen Landeshauptmannes Gerhard Dörfler, der sich persönlich sehr für den SAK einsetzte. Obwohl es aus dem Jahr 2008 auch schon eine größere finanzielle Zusage von LH Haider gab, war Gerhard Dörfler der erste Landeshauptmann, der sich intensiv für die Gleichberechtigung des SAK einsetzte und sein Versprechen auch umsetzte. Sämtliche Verhandlungen (in Summe über 430) haben für den SAK von 2006 bis 2013 Marko Wieser und Silvo Kumer geführt.

Am 7. Juli 2013 wurde der SAK Sportpark in Welzenegg eingeweiht, den feierlichen Ankick machten Bürgermeister Christian Scheider und Sportstadtrat Jürgen Pfeiler. Beide haben Verdienste für das Ende der Jahrzehnte dauernden Benachteiligung des SAK in Klagenfurt und den Neuanfang des SAK.

Der SAK spielt mit seinen 280 Aktiven seit 1. Juli 2013 auf folgenden Sportanlagen: SAK Sportpark Welzenegg (1 Rasenplatz, 1 Kunstrasenplatz = zentrale Sportanlage des Vereines), SAK Stadion beim BRG für Slowenen in der Reichenbergerstraße (1 Rasenplatz), Wiederndorf/Vidravas (2 Rasenplätze mit Flutlicht) und Hörtendorf (1 Trainingsplatz – gemietet).